（2014•潍坊模拟）已知数列{an}是首项为a1=[1/4]，公比q=[1/4]的等比数列，设bn+2=3log14a

解题思路：（Ⅰ）根据首项与公比，利用等比数列的通项公式写出数列{a_n}的通项公式，代入到b_n+2=3log

1

4

a_n中，根据对数的运算性质化简即可求出{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）把第一问求出的两数列的通项公式代入c_n=a_n•b_n中，确定出c_n的通项公式，表示出c_n+1-c_n，判断得到其差小于0，故数列{c_n}为递减数列，令n=1求出数列{c_n}的最大值，然后原不等式的右边大于等于求出的最大值，列出关于m的一元二次不等式，求出不等式的解集即为实数m的取值范围．

（Ⅰ）由题意知，a_n=(
1
4)n（n∈N^*），
易得b_n=3log
1
4a_n-2=3n-2；
（Ⅱ）c_n=a_n•b_n=（3n-2）•(
1
4)n，
∴c_n+1-c_n=（3n+1）•(
1
4)n+1-（3n-2）•(
1
4)n=9（1-n）•(
1
4)n+1（n∈N^*），
∴当n=1时，c₂=c₁=[1/4]，
当n≥2时，c_n+1＜c_n，即c₁=c₂＞c₃＞c₄＞…＞c_n，
∴当n=1时，c_n取最大值是[1/4]，又c_n≤[1/4]m²+m-1对一切正整数n恒成立，
∴[1/4]m²+m-1≥[1/4]，即m²+4m-5≥0，
解得：m≥1或m≤-5．

点评：
本题考点： 等差数列的通项公式；数列与不等式的综合．

考点点评： 此题考查了等比数列的通项公式，对数的运算性质及数列与不等式的综合．要求学生熟练掌握对数的运算性质，以及不等式恒成立时满足的条件．