高一三角函数难题sinα+sinβ=1/3,求sinα-(cosβ)^2的最大值.

sinα+sinβ =1/3 求sinα-(cosβ)^2的最大值
sina=1/3-sinb
(cosb)^2=1-(sinb)^2
所以 sina-(cosb)^2
=1/3-sinb-[1-(sinb)^2]
=(sinb)^2-sinb-2/3
=(sinb-1/2)^2-1/4-2/3
=(sinb-1/2)^2-11/12
因为sina+sinb=1/3
而sina=-2/3
当sinb=-2/3时
(sinb-1/2)^2有最大值
所以最大值为
(-2/3-1/2)^2-11/12
=4/9

因为sinα+sinβ=1/3,故：sinβ=1/3-sinα
故：sinα-cos²β
=sinα-(1-sin²β)
= sinα-1+(1/3-sinα) ²
= sin²α+1/3 sinα-8/9
=(sinα+1/6) ²-11/12
因为-1≤sinα≤1
故：sinα＝1时，sinα-cos²β有最大值，最大值为4/9