已知一元二次方程x 2 +px+q+1=0的一根为2．

（1）把x=2代入得2 ² +2p+q+1=0，即q=-（2p+5）；

（2）证明：∵一元二次方程x ² +px+q=0的判别式△=p ² -4q＞0，
由（1）得△=p ² +4（2p+5）=p ² +8p+20=（p+4） ² +4＞0，（3分）
∴一元二次方程x ² +px+q=0有两个不相等的实根．（4分）
∴抛物线y=x ² +px+q与x轴有两个交点；（5分）

（3）抛物线顶点的坐标为 M(-
p
2 ，
4q- p 2
4 ) ，（6分）
∵x ₁ ，x ₂ 是方程x ² +px+q=0的两个根，
∴

x 1 + x 2 =-p
x 1 x 2 =q ，
∴ |AB|=| x 1 - x 2 |=
( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 =
p 2 -4q ．（7分）
∴ S △AMB =
1
2 |AB|•|
4q- p 2
4 |=
1
8 ( p 2 -4q)
p 2 -4q ，（8分）
要使S _△AMB 最小，只须使p ² -4q最小．
由（2）得△=p ² -4q=（p+4） ² +4，
所以当p=-4时，有最小值4，此时S _△AMB =1，q=3．（9分）
故抛物线的解析式为y=x ² -4x+3．（10分）