已知一元二次方程x 2 +px+q+1=0的一根为2．

（1）由题意得2 ² +2p+q+1=0，即q=-2p-5；

证明：（2）∵一元二次方程x ² +px+q=0的判别式△=p ² -4q，
由（1）得△=p ² +4（2p+5）=p ² +8p+20=（p+4） ² +4＞0，
∴一元二次方程x ² +px+q=0有两个不相等的实根，
∴抛物线y=x ² +px+q与x轴有两个交点；

（3）由题意，x ² +px-2p-4=0，
解此方程得x ₁ =2，x ₂ =-p-2 （p≠-4），
∴AB=p+4（p＞-4）或AB=-P-4（P＜-4），
∵y=x ² +px-2p-4的顶点坐标是 (-
p
2 ，-
(p+4) 2
4 ) ．
以AB为直径的圆经过顶点，
(p+4) 2
4 =
p+4
2 或
(p+4) 2
4 =-
p+4
2 ．
解得p=-2或p=-6，
∴

p=-2
q=-1 或

p=-6
q=7 ．