初二截长补短的数学题

例1 已知：如图1-1所示,在四边形ABCD中,BC＞BA,AD=CD,BD平分∠ABC,
求证：∠A + ∠C = 180°
分析：因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造等腰三角形,可通过“截长补短法”来实现.
证明： 在BC上截取BE=AB,连接DE,再取EC的中点M,连接DM
∵ AB = BE
又 ∵ BD平分∠ABC A D
∴ ∠ABD = ∠EBD
在△ABD与△EBD中,
AB = BE
∠ABD = ∠EBD
BD = BD B E M C
∴△ABD≌△EBD（SAS） 如图1-1
∴ AD = ED ∠A = ∠BED ,
∵AD = DC , ∴ED = DC ∴∠ C = ∠DEC
∴∠A + ∠C = ∠BED +∠DEC = 180°
例2 已知：如图2-2,AE//BC,AD、BD分别平分?EAB、?CBA,EC过点D.
求证：AB=AE+BC
分析一：要证AB=AE+BC观察AD、BD是角平分线,因而可将DAED沿A翻折,从而需添加辅助线在AB上截取BF=BC,只需要推证出AF=AE,则可以使问题得以解决,那么如何推证AF=AE成为解决问题产关键.由于DAED、DADB、DBD的内角和都是180°,且?EDC=180°,又由于AE//BE,因此?E+?C=180°从而?EAB+?CBA=180°,由AD、BD是角平分线,可推出?1+?4=90°,从而可推证出?ADB=90°,因而?6+?8=90°.若能推证出?7=?8,那么只需要推证出DAED≌DAFD,从而可推证出AE=AF、由于BC=BF,?1=?2,BD是公共边,因此可推证出DBFD≌DBCD,则?5=?6,由于?5+?7=90°因此,?6+?7=90°,又由于?6+?8=90°,从而可推出?7=?8,由此可由AD是公共边,?3=?4推证出DAED≌DAFD,从而思路畅通,推证出AE=AF,由等量代换可推证出AB=AE+BC.
证明一：在AB上截取BF=BC,连结DF.
∴ BD是?ABC的平分线,∴?1=?2
在DBDF和DBDC中
（公共边）
∴DBDF≌DBDC(SAS) 如图2-2
∴?5=?6（全等三角形对应角相等）
∴?3+?8+?E=?4+?1+?5+?7=?2+?6+?C=180°（三角形内角和定理）
∴?E+?EAB+?ABC+?C+?EDC=540°
又∴AE//BC∴?E+?C=180°（两直线平行同旁互补）
又∵?EDC=180°∴?1+?2+?3+ ?4=180°
∴AD是?EAB的平分线 ∴?3=?4
∴?1+?4=90° ∴?5+?7=90°（三角形内角和定理）
∴?6+?8=90° ∵?5=?6 ∴ ?7=?8



在DAED和DAFD中
∴DAED≌DAFD (ASA)
∴AE=AF（全等三角形对应边相等）
∵ AF+FB=AB
∴AE=FB=AE+BC=AB
即AB=AE+BC
分析二：延长BC交AD的延长线于F.要证AB=AE+BC,只需要证明BF=AB,只需要推证出CF=AE.而要证CF=AE,只需要推证出含有CF、AE 的两个三角形DAED≌DFCD由于?5=6,AE//BC,因此可推出?3=?F,若要推证出AD=FD,成为解决问题的关键,由于四边形AECB的内角和等于360°,?E+?BCE=180°,因此可知?EAB+?CBA=180°,又由于AD、BD是?EAB、?CBA的平分线,从而可推出?1+?4=90°,因此?ADB=90°,则?EDB=90°,推到此,他们通过观察图形可根据ASA推证出DABD≌DFBD,从而推证出AD=FD,思路形成.

证明二：如图2-3,延长BC、AD交于F
在DAED、DADB、DBDC中
三个三角形的内角和共为540°（三角形内角和定理）
又∵?EDC=180°（平角定义） ∴?E+?C+?EAB+?ABC=180°
AE//BC ∴ （两直线平行同旁内角互补）
∴?3+?4+?1+?2=180°
又∴AD、BD分别是?EAB、?ABC的平分线
∴?3=?4,?1=?2（角平分线定义）
∴?1+?4=90° ∴?ADB=90°（三角形内角和定理）
∴?BDF=90° 在DADB和DBDF中
∴DADB≌DBDF(ASA)
∴AD=FD, AB=FB,?4=?F（全等三角形对边,对应角相等） 如图2-3
在DAED和DFCD中
∴DAED≌DFCD
∴AE=FC ∵ BF=BC+FC ∴BF=BC+AE ∴AB=AE+BC
例3 已知：如图3-1所示,AD为△ABC的角平分线,AB＞AC,
求证：AB—AC＞BD—DC
分析：欲证AB—AC＞BD—DC,需把AB与AC的差,BD与DC的差或它们相等的量转化为同一个三角形的边,再利用三角形三边的关系加以证明.
证明： 方法一： 截长法
在AB上截取AE = AC,连接ED. A
∵AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = ∠DAC
在△ADE与△ADC中, E
AE = AC
∠EAD= ∠DAC B D C
AD = AD 如图3-1
∴ △ADE≌△ADC （SAS）∴ D E = D C
在△ABD中,BE ＞ BD —DE （三角形两边之差小于第三边）
即 AB—AE＞BD—DC
∴ AB—AC＞BD—DC （等量代换）


方法二： 补短法
延长AC到点E,使AE = AB,连接DE A
∵AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = ∠DAC
在△BAD与△EAD中,

AB = AE C
∠BAD = ∠DAC B D E
AD = AD
∴ △ADE≌△ADC （SAS） ∴ D B= D E 如图3-2
在△ABD中, EC ＞DE —DC （三角形两边之差小于第三边）
即 AE—AC＞DE—DC ∴ AB—AC＞BD—DC
例4 已知：如图4-1,在△ABC中,∠C＝2∠B,∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
分析：从结论分析,“截长”或“补短”都可实现问题的转化,即延长AC至E使CE=CD,或在AB上截取AF=AC.
证明：方法一（补短法）
延长AC到E,使DC=CE,则∠CDE＝∠CED,如图4-2
图4-2

∴∠ACB＝2∠E,
∵∠ACB＝2∠B,∴∠B＝∠E,
在△ABD与△AED中,
∴△ABD≌△AED（AAS）
,∴AB=AE.
图4-3

又AE=AC+CE=AC+DC,
∴AB=AC+DC.
方法二（截长法）
在AB上截取AF=AC,如图4-3
在△AFD与△ACD中,
∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC,∠AFD＝∠ACD.
又∵∠ACB＝2∠B, ∴∠FDB＝∠B,
∴FD=FB. ∵AB=AF+FB=AC+FD,
∴AB=AC+CD.

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