（2014•凉山州二模）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn（n=1，2，3…），给出下列四个命

n

i＝1

1

ai

≤c(n∈N+)

①∵a₁=1，a_n+1=2S_n，
∴a_n+2=2S_n+1，
两式相减得a_n+2-a_n+1=2S_n+1-2S_n=2a_n+1，
即a_n+2=3a_n+1，
即
an+2
an+1＝3，（n≥2），
当n=1时，a₂=2a₁=2，
a2
a1＝2≠3，
∴数列{a_n}不是等比数列；∴①错误．
②a_n+1=2S_n=S_n+1-S_n，
即3S_n=S_n+1，
∴
Sn+1
Sn＝3，（n≥1），
即数列{S_n}是等比数列；∴②正确．
③由①知，当n≥2时，an＝a23n−2=2•3^n-2，a₁=1，
则[1
an＝
1/2•(
1
3)n−2，n≥2，
1
a1＝1，
则
n

i＝1
1
ai]=[1
a1+

1/2(1−(
1
3)n−2)
1−
1
3]=1+[3/4]−
3
4(
1
3)n−2＜
7
4，
∴当c≥
7
4时，使
n

i＝1
1
ai≤c(n∈N+)恒成立；∴③正确．
④由S_n（3a_n-2γ）+2≥0得3S_na_n-2γS_n+2≥0，
即γ≤

点评：
本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题主要考查数列的递增公式的应用，考查学生的运算和推理能力．正确应用等比数列的通项公式和前n项和公式是解决本题的关键．