已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an-1（n∈N*）．

解题思路：本题（1）通过题目中的构造，得到等比数列，利用等比数列的通项公式以及前n项和公，式求出数列{b_n}的通项b_n和前n项和S_n，得到本题结论；（2）通过裂项法求和，从而证明T_n＜

1

3

；（3）利用（2）的结论，结合不等关系式，求出最小正整数m，得到本题结论．

（1）∵b_n=a_n-1，
∴b_n+1=a_n+1-1，
代入a_n+1=2a_n-1，
得b_n+1=2b_n，
∴{b_n}是以b₁=2为首项，以2为公比的等比致列，
∴bn＝b1qn−1＝2n，
Sn＝
b1(1−qn)
1−q=2ⁿ⁺¹-2．
（2）由（1）知b_n=a_n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ+1，
∴cn＝
2n
anan+1
=
2n
(2n+′1)(2n+1+1)
=[1
2n+1−
1
2n+1+1．．
∴T_n=（
1
21+1−
1
22+1）+（
1
22+1−
1
23+1）+…+（
1
2n+1−
1
2n+1+1）
=
1/3−
1
2n+1]＜
1
3．
（3）由（2）知，欲使得T n＜
m
2014对所有n∈N^*都成立，
只需[m/2014≥
1
3]即m≥671
1
3．
故符合条件的最小正整数m=672．

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．

考点点评： 本题考查了等比数列的通项公式以及数列求和的方法，本题有一定的综合性，属于中档题．