（2014•达州二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点A（-2，0），过右焦点F且垂直于长轴的弦

（2014•达州二模）已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左顶点A（-2，0），过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线y=kx+m（k＜0，m＞0）与y轴交于点P，与x轴交于点Q，与椭圆C交于M，N两点，若[1|PM|

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解题思路：（Ⅰ）由题意a=2，利用过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3，求出b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线y=kx+m（k＜0，m＞0）与y轴交于点P（0，m），与x轴交于点Q（-[m/k]，0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由[1|PM|+

|PN|

|PQ|

，可得

x1+x2

x1x2

3k/m]，y=kx+m代入椭圆方程可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，利用韦达定理，即可得出结论．

（Ⅰ）由题意a=2，设过右焦点F且垂直于长轴的弦为MN，将M（c，x_M）代入椭圆方程可得y_M=±
2b2/a]，
∴
2b2
a=3，∴b²=3，
∴椭圆C的方程为
x2
4+
y2
3＝1；
（Ⅱ）证明：直线y=kx+m（k＜0，m＞0）与y轴交于点P（0，m），与x轴交于点Q（-[m/k]，0），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
|PM|=
1+k2x₁，|PN|=
1+k2x₂，|PQ|=-
1+k2•[m/k]，
∵[1
|PM|+
1
|PN|=
3
|PQ|，
∴
1
x1+
1
x2=-3•
k/m]，
∴
x1+x2
x1x2=-

点评：
本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生析解决问题的能力，有难度．

1年前

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