赤道北极HONEY
幼苗
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解题思路:设A、M、B三点的纵坐标分别为y
1、y
2、y
3,如图,A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为A′、M′、B′.
F为抛物线的焦点.连接AA′,MM′,BB′,AF,BF.由抛物线的定义可知:|AF|=|AA′|=
y1+=y1+1 |
4],|BF|=y3+.又M是线段AB的中点,利用梯形的中位线定理可得y2=(y1+y3)=(|AF|+|BF|−)≥(|AB|−),解出即可.
设A、M、B三点的纵坐标分别为y1、y2、y3, 如图, A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为A′、M′、B′. F为抛物线的焦点.连接AA′,MM′,BB′,AF,BF. 由抛物线的定义可知:|AF|=|AA′|=y1+ p 2=y1+ 1 4,|BF|=y3+ 1 4. ∴y1=|AF|− 1 4,y3=|BF|− 1 4. 又M是线段AB的中点,∴y2= 1 2(y1+y3)= 1 2(|AF|+|BF|− 1 2)≥ 1 2(|AB|− 1 2)=[1/2(a− 1 2). 当且仅当AB过焦点F时,等号成立. 即当定长为a的弦AB过焦点F时,弦AB的中点M与x轴的距离最小,最小值为 1 2(a− 1 2).
点评: 本题考点: 抛物线的简单性质. 考点点评: 熟练掌握抛物线的定义、梯形的中位线定理及其三角形的三边的大小关系和三点共线是解题的关键.
1年前
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