（2013•保定一模）设F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，M，N分别为其短轴的两个端

（1）∵四边形MF₁NF₂为菱形，周长为4，∴a=1
由椭圆的定义可知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4a=4，
∵|AB|=[4/3]，∴|AF₂|+|BF₂|=[8/3]
∴|AF₂|•|BF₂|≤(
|AF2|+|BF2|
2)2=[16/9]
当且仅当|AF₂|=|BF₂|=[4/3]时，等号成立，即|AF₂|•|BF₂|的最大值为[16/9]；
（2）∵直线l的倾斜角为45°，∴可设l的方程为y=x+c，其中c＝
1−b2
由（1）知椭圆E的方程为x2+
y2
b2＝1
直线方程代入椭圆方程，化简可得（1+b²）x²+2cx+1-2b²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=[−2c
1+b2，x₁x₂=
1−2b2
1+b2
∵|AB|=
2|x₁-x₂|=
4/3]
∴[8/9]=(
−2c
1+b2)2−4×
1−2b2
1+b2
∴b2＝
1
2
∴c=

2
2
∴l的方程为y＝x+

2
2
∴F₂到l的距离d=1
∴S△ABF2＝
1
2|AB|×1＝
1
2×
4
3×1＝
2
3

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；基本不等式；椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查椭圆的定义，考查基本不等式的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．