如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC= 1 2 PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

方法一：
（Ⅰ）∵O、D分别为AC、PC中点，
∴OD ∥ PA又PA⊂平面PAB
∴OD ∥ 平面PAB
（Ⅱ）∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，
又∵OP⊥平面ABC
∴PA=PB=PC．取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC
∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．在Rt△ODF中，sin∠ODF=
OF
OD =

210
30 ，
∴OD与平面PBC所成的角为arcsin

210
30 ．

方法二：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图）， 设AB=a，则A(

2
2 a，0，0)，B(0，

2
2 a，0)，C(-

2
2 a，0，0)
设OP=h，则P（0，0，h）．
（Ⅰ）∵D为PC的中点，
∴

OD =(-

2
4 a，0，
1
2 h)，又

PA =(

2
2 a，0，-h) ，
∴

OD =-
1
2

PA ．∴

OD ∥

PA ．∴OD ∥ 平面PAB．
（Ⅱ）∵PA=2a∴ h=

7
2 a ，
∴

OD =(-

2
4 a，0，

14
4 a) ，可求得平面PBC的法向量

n =(-1，1，

1
7 ) ，
∴ cos〈

OD ，

n ＞=


OD •

n
|

OD |•|

n | =

210
30 ．
设OD与平面PBC所成的角为θ，
则 sinθ=|cos〈

OD ，

n ＞|=

210
30 ，
∴OD与平面PBC所成的角为arcsin

210
30

1年前