如图,等边三角形OAB的边长是方程X²-12X+m²+36=0的一个根,O为坐标原点,A在x轴正半轴

⑴方程X²-12X+m²+36=0就是(X-6)^2+m^2=0,
∴X-6=0且m=0,∴X=6,
即ΔOAB的边长为6.
⑵HQ为定值3.
理由：过P作PR∥BC交OA于R,易得ΔOPR是等边三角形,
∴OP=OR,又OB=OA,∴PB=AR=AE,
∴AQ是ΔPRE的中位线,∴AQ=1/2PR=1/2OP,
∵PH⊥AB,∠B=60°,∴BH=1/2PB,
∴BH+AQ=1/2OB=3,∴HQ=3.
⑶P(2,2√3),B(3,3√3),Q(5,√3),
①PB∥QK,且PB=QK,K1(6,2√3),K2(4,0).
②PB与QK互相平分,K3(0,4√3).

（1）判别式为144-4（m^2 36)=-4m^2且上式大于或等于0 即-4m^2大于或等于0，解得m^2小于或等于0 又有m^2非负，即m^2大于或等于0 两者综合m^2=0，即m=0 原方程化为x^2-12X 36=0，解得x=6，即AoB边长为6，周长为18

（1）、方程x²-12x+m²+36=0=（x-6）²+m²，得：x=6，m=0；
△AOB的周长=3*6=18；
（2）、过点E作EF⊥AB交于点F，
在RT△BPH和RT△AEF中，BP=AE，角PBH=角EAF=60°，角BHP=角AFE=90°；
——》RT△BPH全等于RT△AEF，——》BH=AF，PH=EF；