（2007•上海模拟）设数列{an}是首项为0的递增数列，（n∈N），fn(x)＝|sin1n(x−an)|，x∈[an

解题思路：（1）由题意可得当n=1时，f₁（x）=|sin（x-a₁）|=|sinx|，结合对任意的b∈[0，1），f₁（x）=b总有两个不同的根可得a₂=π，代入可求f₁（x）a₂=π
（1）类比（1）的方法可分别求f₂（x），f₃（x），及a₂，a₃，a₄归纳可得a_n+1-a_n=nπ，从而利用叠加法可求
（3）当n=2k，k∈Z（4），S_2k=a₁-a₂+a₃-a₄+…+a_2k-1-a_2k，n=2k+1，S_2k+1=S_2k+a_2k+1两种情况讨论求解

（1）∵a₁=0，当n=1时，f₁（x）=|sin（x-a₁）|=|sinx|，x∈[0，a₂]，…（2分）
又∵对任意的b∈[0，1），f₁（x）=b总有两个不同的根，∴a₂=π
∴f₁（x）=sinx，x∈[0，π]，a₂=π…（4分）
（1）由（1），f2(x)＝|sin
1
2(x−a2)|＝|sin
1
2(x−π)|＝|cos
x
2|，x∈[π，a3]（2）
∵对任意的b∈[0，1），f₁（x）=b总有两个不同的根，∴a₃=3π…（5分）
f3(x)＝|sin
1
3(x−a3)|＝|sin
1
3(x−3π)|＝|sin
1
3π|，x∈[3π，a4]
∵对任意的b∈[0，1），f₁（x）=b总有两个不同的根，∴a₄=6π…（6分）
由此可得a_n+1-a_n=nπ，…（8分）
利用叠加可求得an＝
n(n−1)π
2…（10分）
（3）当n=2k，k∈Z（4），S_2k=a₁-a₂+a₃-a₄+…+a_2k-1-a_2k（5）
=-[（a₂-a₁）+（a₄-a₃）+…+（a_2k-a_2k+1）]
=-[π+3π+5π+…+（2k-1）π]=−k2π＝−
n2
4π
∴Sn＝−
n2
4π…（13分）
当n=2k+1，k∈Z，S2k+1＝S2k+a2k+1＝−k2π+
(2k+1)2k
2π＝
(n−1)(n+1)
4π
∴Sn＝
(n−1)(n+1)
4π…（16分）

点评：
本题考点： 数列与三角函数的综合．

考点点评： 本题主要数列与三角函数是综合知识的应用，及由数列的递推公式求解数列的通项公式，叠加法的应用及数列求和公式的应用．