在△ABC中,∠BAC=90°.∠ACD是等边三角形.连接BD若∠DBC=2∠DBA.求∠DBA

证明：如图,以AB为一边,向下作一个等边三角形△ABE连接ED,EC,EC交BD于F点∵∠BAC=90°∠CAD=∠BAE=60°∴∠CAE=∠DAB=∠DAE=150°△DAB 与△DAE中DA=DA∠DAB=∠DAEAB=AE∴△DAB ≌△DAE△DAB 与△CAE中DA=CA∠DAB=∠CAEAB=AE∴△DAB ≌△CAE∴有△DAB ≌△DAE≌△CAE∴∠AED=∠CEA=∠ABD∠ADB=∠ACE 又∵∠DBC=2∠ABD∴有∠DBC=∠CED∴B,E,D,C四点共圆∴有∠EBD=∠ECD …………（见备注）又∵∠EBD=∠EBA+∠ABD =60°+∠ABD∠ECD=∠ACD+∠ACE=60°+∠ACE∴∠ABD =∠ACE又∵∠ADB=∠ACE∴∠ABD=∠ADB∵∠BAD=150°∴∠ABD=∠ADB=15°□ By euler27备注：若没有学习过四点共圆知识,∠EBD=∠ECD还可以如下推出∵∠DBC=∠CED又∵∠BFC=∠EFD∴△BFC∽△EFD∴有BF:EF=CF:DF又∵∠BFE=∠CFD∴△BFE∽△CFD∴∠EBD=∠ECD