37435366 幼苗
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(1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),①
令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.
令y=-x,代入①式,得f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有
0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,所以f(x)是奇函数.
(2)f(3)=log23>0,即f(3)>f(0),
又f(x)在R上是单调函数,
所以f(x)在R上是增函数,
又由(1)f(x)是奇函数.
f(k•3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2),
k•3x<-3x+9x+2,
令t=3x>0,分离系数得:k<−1+t+
2
t,
问题等价于k<−1+t+
2
t,对任意t>0恒成立.
∵−1+t+
2
t≥−1+2
2,
∴k<−1+2
2.
点评:
本题考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的性质;函数奇偶性的判断.
考点点评: 本题主要考查了抽象函数及其应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中档题.说明:问题(2)本题解法:是根据函数的性质.f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数,把问题转化成二次函数f(t)=t2-(1+k)t+2对于任意t>0恒成立.对二次函数f(t)进行研究求解.
1年前
你能帮帮他们吗