已知椭圆为x^2+4y^2=1,抛物线为x^2=2y.在抛物线上是否存在疑点P使得过P点的切线和椭圆相交于A,B

抛物线y=x^2/2,则导数是y'=2x/2=x
设P坐标是(xo,yo),则有切线的斜率是k=y'=xo,故切线方程是y-yo=xo(x-xo)
即有y-xo^2/2=xox-xo^2,即有y=xox-xo^2/2
代入到椭圆方程中有x^2+4(xo^2x^2-xo^3x+xo^4/4)=1
即有(1+4xo^2)x^2-4xo^3x+xo^4-1=0
x1+x2=4xo^3/(1+4xo^2),x1x2=(xo^4-1)/(1+4xo^2)
y1y2=(xox1-xo^2/2)*(xox2-xo^2/2)=xo^2x1x2-xo^3/2(x1+x2)+xo^4/4=xo^2(xo^4-1)/(1+4xo^2)-2xo^6/(1+4xo^2)+xo^4/4=(-xo^6-xo^2)/(1+4xo^2)+xo^4/4=[(-4xo^6-4xo^2)+1+4xo^2]/[4(1+4xo^2)]=(-4xo^6+1)/[4(1+4xo^2)]
因为OA垂直于OB,则有x1x2+y1y2=0
故有(xo^4-1)/(1+4xo^2)+(-4xo^6+1)/(4(1+4xo^2))=0
即有4xo^4-4-4xo^6+1=0
4xo^6-4xo^4+3=0
得到这个方程不会解了.抱歉啊.