为什么这题用两边同时平方是错的?若方程根号下2x+1=x+m有两个不同的实根,求实数m的取值范围

两边同时平方使得数的范围扩大,出现增根.
这题如果用代数方程的根去分析,将会特别复杂,要考虑的情况比较多,分类麻烦.
应该用数形结合来做,这也是出题者的本意.
左边 y=√(2x+1) 是开口向右的抛物线的上半部分,顶点 A（-1/2,0）,
右边 y=x+m 是斜率为 1 的直线,在 y 轴上的截距为 m .
可以看出,当直线过A时,它们有两个交点,此时 m= 1/2 ；
上移直线,仍有两个交点,
当直线与抛物线相切时,只有一个交点,此时 二次方程 2x+1=(x+m)^2 有唯一实根,
因此判别式=(2m-2)^2-4(m^2-1)=0 ,解得 m= 1 ；
所以,所求的 m 的取值范围是 [-1/2,1）.（即 -1/2

要保证sqr(2x+1)有意义，x>=-1/2，所以两边平方后整理出的方程须有两个大于等于-1/2的实根。

你所说的方程为√（2x)+1=x+m 还是√（2m+1）=x+m ?