已知函数f（x）=ln（e x +1）-ax（a＞0）．

（1）由已知得 f′(x)=
e x
e x +1 -a ．
∵函数y=f（x）的导函数是奇函数．
∴f′（-x）=-f′（x），解得 a=
1
2 ．故 f′(x)=
e x +1-1
e x +1 -
1
2 ， f′(x)=
1
2 -
1
e x +1 ，所以 f′(x)∈(-
1
2 ，
1
2 )
（2）由（1） f′(x)=
e x
e x +1 -a=1-
1
e x +1 -a ．
当a≥1时，f′（x）＜0恒成立，
∴当a≥1时，函数y=f（x）在R上单调递减；
当0＜a＜1时，由f′（x）＞0得（1-a）（e ^x +1）＞1，即 e x ＞-1+
1
1-a ，x＞ln
a
1-a ，
∴当 0＜a＜1时，y=f(x)在(ln
a
1-a ，+∞) 内单调递增，
在 (-∞，ln
a
1-a ) 内单调递减．
故当a≥1时，函数y=f（x）在R上单调递减；
当0＜a＜1时， y=f(x)在(ln
a
1-a ，+∞) 内单调递增；在 (-∞，ln
a
1-a ) 内单调递减．