设数列{an},{bn}满足a1=1,b1=0且(高二数学,
设数列{an},{bn}满足a1=1,b1=0且(高二数学,
a(n+1)=2an+3bn且b(n+1)=an+2bn.
(1)求证:{an+根号3bn}和{an-根号3bn}都是等比数列并求其公比;
(2)求{an},{bn}的通项公式
(n均为正整数)
是(根号3)bn
a(n+1)=2an+3bn且b(n+1)=an+2bn.
(1)求证:{an+根号3bn}和{an-根号3bn}都是等比数列并求其公比;
(2)求{an},{bn}的通项公式
(n均为正整数)
是(根号3)bn
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1、
a(n+1)+√3b(n+1)
=2an+3bn+√3an+2√3bn
=(2+√3)an+(2√3+3)bn
=(2+√3)an+√3(2+√3)bn
=(2+√3)(an+√3bn)
所以[a(n+1)+√3b(n+1)]/(an+√3bn)=2+√3
所以an+√3bn是等比数列,q=2+√3
同理an-√3bn是等比数列,q=2-√3
2、
an+√3bn是等比数列,q=2+√3
an+√3bn=(a1+√3b1)*(2+√3)^(n-1)=(2+√3)^(n-1)
同理
an-√3bn=(a1-√3b1)*(2-√3)^(n-1)=(2-√3)^(n-1)
相加
2an=(2+√3)^(n-1)+(2-√3)^(n-1)
an=[(2+√3)^(n-1)+(2-√3)^(n-1)]/2
√3bn=(2+√3)^(n-1)-an=[(2+√3)^(n-1)-(2-√3)^(n-1)]/2
所以bn=[(2+√3)^(n-1)-(2-√3)^(n-1)]/(2√3)
a(n+1)+√3b(n+1)
=2an+3bn+√3an+2√3bn
=(2+√3)an+(2√3+3)bn
=(2+√3)an+√3(2+√3)bn
=(2+√3)(an+√3bn)
所以[a(n+1)+√3b(n+1)]/(an+√3bn)=2+√3
所以an+√3bn是等比数列,q=2+√3
同理an-√3bn是等比数列,q=2-√3
2、
an+√3bn是等比数列,q=2+√3
an+√3bn=(a1+√3b1)*(2+√3)^(n-1)=(2+√3)^(n-1)
同理
an-√3bn=(a1-√3b1)*(2-√3)^(n-1)=(2-√3)^(n-1)
相加
2an=(2+√3)^(n-1)+(2-√3)^(n-1)
an=[(2+√3)^(n-1)+(2-√3)^(n-1)]/2
√3bn=(2+√3)^(n-1)-an=[(2+√3)^(n-1)-(2-√3)^(n-1)]/2
所以bn=[(2+√3)^(n-1)-(2-√3)^(n-1)]/(2√3)
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