（2012•威海一模）已知函数f（x）=[1/2x2−(a+1)x+alnx．

解题思路：（I）先求f（x）的定义域为{x|x＞0}，先对已知函数进行求导，由f'（2）=2-a-1+[a/2]=[3/2]，可求a；
（II）由f'（x）=x-a-1+[a/x]=

(x−a)(x−1)

x

（x＞0），通过比较1与2a的大小解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，从而可求函数的单调区间；
（III）把判断方程f（x）=m何时有三个不同的实数根的问题，转化为研究函数的零点问题，通过导数得到函数的极值，把函数的极值同m进行比较，得到结果．

（I）由已知可知f（x）的定义域为{x|x＞0}
f'（x）=x-a-1+
a
x]（x＞0）
根据题意可得，f'（2）=2-a-1+[a/2]=[3/2]，
∴a=-1．
（II）∵f'（x）=x-a-1+[a/x]=
(x−a)(x−1)
x（x＞0）
①当a＞1时，由f′（x）＞0可得x＞a或0＜x＜1；
由f′（x）＜0可得0＜x＜2a
∴f（x）在（2a，+∞）上单调递增，在（0，2a）上单调递减
②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0可得x＞1或0＜x＜a；
③当a=1时，在区间（0，+∞）上f′（x）≥0恒成立．
∴当a＞1时，f（x）在（0，1），（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减；
当0＜a＜1时，f（x）在（0，a），（1，+∞）上单调递增，在（a，1）上单调递减；
当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
当a≤0时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．
（III）当a=2时，f（x）=[1/2x2−3x+2lnx，
由（II）问知，f（x）在（0，1），（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减；
∴f（x）的极大值为f（1）=-
5
2]，f（x）的极小值为f（2）=2ln2-4，
当m∈（2ln2-4，-[5/2]），函数方程f（x）=m在（0，+∞）上有三个不同的实数根，
因此实数m的取值范围是（2ln2-4，-[5/2]）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查了导数的几何意义的应用，函数的导数与函数的单调性的应用，及函数的极值与最值的求解的相互关系的应用，属于函数知识的综合应用．