若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+[15/4]x-9都相切，求实数a的值．

解题思路：设出所求切线方程的切点坐标和斜率，把切点坐标代入曲线方程得到一个等式，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，把切点坐标代入又得到一个等式，联立方程组即可求出切点的横坐标，进而得到切线的斜率，根据已知点的坐标和求出的斜率写出切线方程，再根据与y=ax2+154x-9都相切，联立方程组，△=0可求出所求．

设直线与曲线y=x³的切点坐标为（x₀，y₀），
则

y0＝x03

y0
x0−1＝3x02，则切线的斜率k=3x₀²=0或k=[27/4]，
若k=0，此时切线的方程为y=0，
由

y＝0
y＝ax2+
15
4x−9，
消去y，可得ax²+[15/4]x-9=0，
其中△=0，即（[15/4]）²+36a=0，
解可得a=-[25/64]；
若k=[27/4]，其切线方程为y=[27/4]（x-1），
由

y＝
27
4(x−1)
y＝ax2+
15
4x−9，
消去y可得ax²-3x-[9/4]=0，
又由△=0，即9+9a=0，
解可得a=-1．
故a=-[25/64]或-1．

点评：
本题考点： 导数的几何意义．

考点点评： 本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道综合题．