函数f（x）=k•a-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）

解题思路：（1）根据A（0，1），B（3，8）在函数图象，把点的坐标代入解析式列出方程组，求出k、a的值；
（2）由（1）求出g（x）的解析式和定义域，再根据奇函数的定义g（x）=-g（-x）列出关于b的等式，由函数的定义域求出b的值；
（3）利用分离常数法化简函数解析式，先判断出在定义域上的单调性，再利用取值-作差-变形-判断符号-下结论，证明函数的单调性．

（1）∵函数的图象过点A（0，1），B（3，8）
∴

k＝1
k•a−3＝8，解得k＝1，a＝
1
2，
∴f（x）=2^x

（2）由（1）得，g(x)＝
f(x)+b
f(x)−1＝
2x+b
2x−1，则2^x-1≠0，解得x≠0，
∴函数g（x）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
∵函数g（x）是奇函数
∴g(−x)＝
2−x+b
2−x−1＝−g(x)＝−
2x+b
2x−1，
∴
2x(2−x+b)
2x(2−x−1)＝−
2x+b
2x−1，即
1+b•2x
1−2x＝
2x+b
1−2x，
∴1+b•2^x=2^x+b，即（b-1）•（2^x-1）=0
对于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，∴b=1

（3）由（2）知，g(x)＝
2x+1
2x−1＝
2x−1+2
2x−1＝1+
2
2x−1，且x∈（-∞，0）∪（0，+∞）
当x＞0时，g（x）为单调递减的函数；当x＜0时，g（x）也为单调递减的函数，
证明如下：
设0＜x₁＜x₂，则g(x1)−g(x2)＝

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题是函数性质的综合题，考查了用待定系数法求函数解析式，利用奇函数的定义求值，用定义法证明函数的单调性；注意函数的定义域优先，并且函数的单调区间不能并在一起，这是易错的地方．