已知幂函数f(x)=x (k z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是增函数.

想必楼主也认为第一问比较容易吧
将x的指数通分 即得 (3k^2 + k-1)/2k^2
那么,要使f(x)为偶函数,并且在(0,+∞)为增
那就必须 (3k^2 + k-1)/2k^2 大于0并且为偶数
可解出k 的范围 有因 k为整数且在分母上, 最终只能有k=-1
所以 f(x)=x^2
第2问,易知g(x)=x^4 - (λ-2)x^2 + 2-λ
求导 g'(x)=4x^3 - 2(λ-2)x
显然g'(x)在整个实数R上是先增后减再增的
再求二阶导数 g''(x)=12x^2 - 2(λ-2)
此时
当λ小于等于2时,判别式小于等于0 ,g''(x)大于等于0恒成立
即g'(x)恒增,此时 要使
那么要使g(x)在(-∞,-根号2除以2]内是减函数,在(-根号2除以2,0]内是增函数
只要使g'(x)在 x=负根号2除以2 时的函数值等于0即可
解出 λ=1
到此为止,我们已经证出了λ确实存在,按理说到此问题就已证完了
但上述只是讨论了g''(x) 判别式小于等于0的情况,我们还可以继续往下讨论
当 λ>2 时,即g''(x) 判别式大于0
易知 x=根号下(λ-2)/6 时g'(x)取得极大值 ,x=负根号下(λ-2)/6 时g'(x)取得极小值 下面要再分两种情况来讨论 建议此时楼主画出g'(x)的草图助于理解
1. 当极大值小于0时,即 g'(根号下(λ-2)/6) < 0
那么要使g(x)在(-∞,-根号2除以2]内是减函数,在(-根号2除以2,0]内是增函数
只需令g'(x)在(-∞,-根号2除以2]内 小于0 ,在(-根号2除以2,0]内 大于0
很显然
对于所有λ>2 来说是明显不成立的,因为 根号下(λ-2)/6 是大于0的
大于0的时候g'(x)都小于0 ,那么在在(-∞,-根号2除以2] 以及(-根号2除以2,0] 内 g'(x) 就更小于 0 了
这样的话 g(x) 在（-∞,0]上都是恒减函数
2.当极大值大于0时, 即g'(根号下(λ-2)/6) > 0
这时再往下确实有点麻烦,由于前面我们已经证明了确实存在λ,所以往下我也就不再写了,我说一下思路,楼主有兴趣就自行探讨一下吧 ,我估计解那三次方程够麻烦
因为这个时候我们需要求出g'(x)的最左边的零点
然后,令这个零点的函数值等于0 求出λ
然后根据 g'(根号下(λ-2)/6) > 0 所限定的 λ 的范围 来取舍λ
好了,整个过程就是如此,可能长了点 ,希望对楼主有帮助!