已知关于x的方程x2+2alog2(x2+2)+a2-3=0有唯一解，则实数a的值为 ___ ．

解题思路：考察函数 f（x）=x2+2alog2(x2+2)+a2−3，可得它在 R 上为偶函数，因此图象关于 y 轴对称，由题意可得 f（0）=0，解得 a=1 或 a=-3．经检验，当 a=-3 时，
f（x） ）=0 至少有三个根，不满足题意，故把 a=-3舍去，而a=1满足条件，由此得出结论．

考察函数 f（x）=x2+2alog2(x2+2)+a2-3，可得它在 R 上为偶函数，因此图象关于 y 轴对称．
因为 f（x）=0 有唯一解，因此这个解一定是 x=0，即 f（0）=0，即 （a-1）（a+3）=0．
解得 a=1 或 a=-3．
①当 a=1 时，f（x）=x2+2log2(x2+2)-2≥0+2log₂2-2=0，当且仅当x=0时取等号，
因此关于x的方程x2+2alog2(x2+2)+a2-3=0有唯一解 x=0．
②当 a=-3 时，f（x）=x2-6log2(x2+2)+6，
因为f（0）=0，f（
30）=30-6×5+6=6＞0，f（
14）=14-6×4+6=-4＜0，
故函数f（x）在区间（
14，
30）之间有零点．
再根据f（x）为偶函数，可得函数在区间（-
30，-
14）之间有零点，
因此 f（x）=0 至少有三个根，不满足题意，故把 a=-3舍去．
所以，若方程有唯一解，则 a=1．
故答案为：1．

点评：
本题考点： 根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性的性质应用，注意排除a=-3，这是解题的难点．

根据对数公式可知2alog2(x^2+2)=ax²+2a，原方程化为：
(1+a)x²+2a+a²-3。若要此方程有唯一解，根据一元二次方程有唯一解的条件
可知a必须满足下式：
0²－4×(1+a)×(2a+a²-3)=0,化解得：(1+a)×(a-1)×(a+3)=0
则：a=±1...

提示：注意到x=0