实数a,b,c满足a+2b+2c=1,求ab+ac+2bc的最大值

ab+ac+2bc的最大值可以在a、b、c均为正数时取得.
由a+2b+2c=1得 b+c=(1-a)/2,
由柯西不等式(均值不等式)得 bc≤[(b+c)/2]² =[(1-a)/4]²,
所以,ab+ac+2bc=a(b+c)+2bc
≤a(1-a)/2+2[(1-a)/4]²
=(1-a)[a/2+(1-a)/8]
=3/8·(1-a)(a+1/3)
≤3/8·{[(1-a)+(a+1/3)]/2}² (柯西不等式)
=1/6
所以在 1-a=a+1/3 ,b=c=(1-a)/4 即 a=1/3,b=c=1/6 时
ab+ac+2bc有最大值为 1/6.

由柯西不等式知
ab+ac+2bc<=√(a^2+a^2)(b^2+c^2)+√(b^2+c^2)(b^2+c^2),当且仅当b=c时等号成立。将b=c,a=1-4b带入，得ab+ac+2bc=2b(1-3b)=-6(b-1/6)^2+1/6,所以当b=1/6时，有最大值1/6。殊途同归，一楼的方法更符合你的要求，我的方法你也可以研究研究。

那时高中的知识给忘了。

分析：分析结构，应该跟平方有关。
ab+bc+ac≤a的平方+b的平方+c的平方
因为xy+yz+zx≤x^2+y^2+z^2
所以，3(xy+yz+zx)≤(x+y+z)^2
所以，3(a*2b+2b*2c+2c*a)≤(a+2b+2c)^2
即6（ab+ac+2bc)≤1
所以ab+ac+2bc≤1/6
希望能帮助到你。