若单位列向量a,b∈R^n,且a'b=0,则矩阵ab'+ba'相似于对角阵∧={1,-1,0,…,0}.

令矩阵A=ab'+ba',首先由于A'=(ab'+ba')'=ba'+ab'=A,且a,b∈R^n,故A为实对称矩阵,一定可以对角化.由于r(AB)≤mim{r(A),r(B)},且r(a)=r(b)=1,故r(A)≤1+1=2,写出A的前两行,很容易看出这两行是线性无关的,由于r(A)≥2,故r(A)=2.根据二次型的知识,将矩阵A决定的二次型化为规范型,其中只能有d1,d2不等于0,其它di都等于0,再根据tr(A)=tr(ab'+ba')=tr(a'b)+tr(b'a)=0,知d1+d2=0,故d1和d2只能分别等于1和-1,也就是A的特征值为1和-1（重数都是1）,所以A相似于对角阵{1,-1,0,0}.