证明:f(x)是[a,b]上连续函数充:对任意实数c,集E={x|f(x)≥c}∩[a,b]和E={x|f(x)≤c}∩[a,b]都是闭集
ceany欣儿 精英
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设xn->x,∵xn∈[a,b],∴x∈[a,b]
∴由f(x)连续,可知f(xn)->f(x) 则f(x)=lim{n->∞}f(xn)≥lim{n->∞}c=c
∴x∈E,即E是闭集,E={x|f(x)≤c}时同理
充分性:考虑任意一点t∈[a,b],则对任意ε>0
A={x∈[a,b]:f(t)-ε={x∈[a,b]:f(x)≥f(t)+ε}的补集∩{x∈[a,b]:f(x)≤f(t)-ε}的补集
即A为两个开集的交,所以A为开集.而显然有t∈A ∴存在δ>0,使得(t-δ,t+δ)∩[a,b]包含于A,
即 对任意x∈(t-δ,t+δ)∩[a,b],有|f(x)-f(t)|<ε
∴f(x)在t点连续,即f(x)在[a,b]上连续
1年前
你能帮帮他们吗