m,n均为三维单位列向量且(m^T)n=0,令A=m（n^T）+n（m^T）证明A与对角阵【1,-1,0】相似

m,n均为三维单位列向量且(m^T)n=0,令A=m（n^T）+n（m^T）证明A与对角阵【1,-1,0】相似
主要 证明r【m（n^T）】+r【n（m^T）】=2 是怎么判断出来的
娃哈哈f190 1年前 已收到1个回答 举报
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梦眉儿 幼苗

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证明:因为α^Tβ=0,知 β^Tα=0,且α,β线性无关
所以 α+β,α-β 线性无关.(略)
因为 Aα=(αβ^T+βα^T)α=αβ^Tα+βα^Tα=β
同理 Aβ=(αβ^T+βα^T)β=αβ^Tβ+βα^Tβ=α
所以 A(α+β)=Aα+Aβ=α+β,A(α-β)=Aα-Aβ=α-β.
所以 α+β,α-β 是A的属于特征值1的线性无关的特征向量.
因为 A^T=A,A是对称矩阵,所以A可对角化
所以 r(A)>=2.
又因为 r(A)=r(αβ^T+βα^T)

1年前 追问

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娃哈哈f190 举报

非常 感谢，但 __1____"因为 A^T=A, A是对称矩阵, 所以A可对角化 所以 r(A)>=2." __2____"r(αβ^T)+r(βα^T)<=r(α)+r(β)<=2" 这两个地方 不太理解。

举报 梦眉儿

1 --A可对角化=>A相似于对角矩阵=>A的秩等于对角矩阵中非零元的个数 --由上知1是A的至少二重特征值(有2个线性无关的特征向量) --对角矩阵中主对角线上至少有两个1. --所以 r(A)>=2. 2 --知识点: r(AB)<=r(A), r(AB)<=r(B) --r(αβ^T)+r(βα^T)<=r(α)+r(β)=1+1=2
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