如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°AC=BC=a，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又A1

（I）证明：∵A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，
∴A₁D⊥面ABC，
∴A₁D⊥BC，
∠BCA=90°，
∴AC⊥BC
∵A₁D∩AC=D，
∴BC⊥平面ACC₁A₁；
（II）由（I）知，A₁D⊥面ABC，
AA₁在平面ABC的射影是AC，
∴∠A₁AD是AA₁与平面ABC所成的角，又A₁B⊥AC₁，A₁B在平面ACC₁A₁的投影为A₁C，
∴A₁C⊥AC，又ACC₁A₁是菱形，
∴AA₁=AC=a，AD=DC=[1/2]a，在Rt△A₁DA中，COS∠A₁AD=[AD
A 1A=
1/2]得∠A₁AD=[π/3]
（III）由（I）知BC⊥平面ACC₁A₁作CN⊥AA₁，于点N，连接BN，∠BNC是二面角B-AA₁ -C的平面角，
由图易知CN=

3
2a，BC=a
∴在Rt△BCN中，tan∠BNC=[BC/CN]=
2
3
3，
∴二面角B-AA₁ -C的平面角的正切值为
2
3
3