如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，∠BCA=90°，E、M分别是CC1、A1B1的中点．

解题思路：（1）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，E、M分别是CC₁、A₁B₁的中点，我们易结合直三棱柱的结构特征得到，C₁M⊥A₁B₁．BB₁⊥C₁M．由线面垂直的判定定理即可得到C₁M⊥平面A₁BB₁，进一步再由线面垂直的性质定理，即可得到答案．
（2）连接AB₁交A₁B₁于点D，连接DE、MD、AE、EB₁，由三角形的中位线定理，我们易得四边形MDEC₁是平行四边形，即C₁M∥ED，再由线面平行的判定定理，即可得到结论．

证明：（1）∵CA=CB∴C₁A₁=C₁B₁，点M为A₁B₁的中点∴C₁M⊥A₁B₁..（2分）
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴B₁B⊥平面A₁B₁C₁，C₁M⊂平面A₁B₁C₁
∴BB₁⊥C₁M．（4分）又∵BB₁∩A₁B₁=B₁∴C₁M⊥平面A₁BB₁，A₁B⊂平面A₁BB₁∴C₁M⊥A₁B（6分）
（2）连接AB₁交A₁B₁于点D，连接DE、MD、AE、EB₁．∵四边形ABB₁A₁是长方形∴点D为AB₁的中点
∵点M为A₁B₁的中点∴MD为△B₁A₁A的中位线∴MD∥AA₁且|MD|=[1/2]|AA₁|（8分）
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁E∥AA₁且|C1E|＝
1
2|AA1|∴MD∥C₁E且|MD|=|C₁E|∴四边形MDEC₁是平行四边形∴C₁M∥ED又∵ED⊂平面AB₁E，C₁M⊄平面AB₁E∴C₁M∥平面AB₁E（13分）

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间直线与平面间垂直、平行的判定、性质、定义是解答本题的关键．