（2014•浙江二模）如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1（侧棱与底面垂直的三棱柱为直三棱柱）中，CA=CB，D，D1

解题思路：（1）运用线面垂直的判定定理和性质定理，以及面面垂直的判定定理即可证得；
（2）由（1）的结论和D₁在平面ABC₁的射影F在边AE上，得到F为△ABC₁的重心，运用射影定理知，D₁C₁=

2

DD₁
设DD₁=a，求出D₁F、AD₁的长，由直线与平面所成的角的定义得到∠D₁AF是所成的角，求出正弦值即可．

（1）证明：∵CA=CB，D为AB的中点，∴CD⊥AB，
∵CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥AB，∴AB⊥平面DCC₁D₁，
∵AB⊂平面ABC₁，∴平面ABC₁⊥平面DCC₁D₁；
（2）由（1）平面ABC₁⊥平面DCC₁D₁，
∴D₁在平面ABC₁上的射影F在交线C₁D上，
已知F也在AE上，且C₁D，AE为△ABC₁的中线，
∴F为△ABC₁的重心，且

C1F＝2

FD，
∵在△DD₁C₁中，∠DD₁C₁为直角，D₁F⊥DC₁，
利用射影定理知，D₁C₁=
2DD₁，设DD₁=a，则D₁C₁=
2a，D₁F=

6
3a，AD=a，AD₁=
2a，
∴sin∠D₁AF=


6
3a

2a＝

3
3，即直线AD₁与平面ABC₁所成的角的正弦值为

3
3．

点评：
本题考点： 直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定，同时考查空间的角：直线与平面所成的角，考查基本的运算能力，属于中档题．