··一道数学题·设坐标原点为O,抛物线y^2=2px(p>0)与过其焦点F得直线交于A,B两点,过A,B分别作该抛物线准

向量FC·FD＝0
几何方法：
设准线与x轴交于点H,则由抛物线定义,AF＝AC,BF＝BD
得∠ACF＝∠AFC,∠BFD＝∠BDF
而由AC‖x轴‖DB,∠CFH＝∠FCA,∠DFH＝∠FDB
因此∠AFC＝∠CFH,∠BFD＝∠DFH
又因为上述四角之和为180度,∠CFH+∠DFH＝90度,即FC⊥FD
因此向量FC·FD＝0
代数方法：
设A(x1,y1)B(x2,y2)
设AB:x＝my+p/2（这样可以不用讨论m不存在,因为此时与若不存在与抛物线只交于一点,而设y＝kx+b要讨论）
带入曲线,整理得
y^2-2py-p^2=0
y1y2=-p^2
向量FC·FD=(-p,y1)*(-p,y2)=p^2-p^2=0
楼上计算有误,应是x1x2＝-p^2/4

解:
设A(x1,y1)B(x2,y2)
设AB:y=k(x-p/2),带入曲线,整理得
(kx)^2+(k^2*p+2p)x-k^2*p/4=
y1*y2=(-p^2)/4
向量FC·FD=(-p,y1)*(-p,y2)=p^2*3/4