已知函数f(x)＝exx2−ax+1(a≥0)，

解题思路：（1）先求导函数，然后讨论a，得到导数符号，从而得到函数的单调区间；
（2）由（1）可知当a＞2时，x∈[x₁，x₂]⊆[0，a+1]时，有f（x）＜0即f（x）≥x不成立，当a=0时，f（x）≥x在x∈[0，a+1]上成立，当a∈（0，2）时，证明f(1+a)＝

ea+1

a+2

≥a+1，即证e^x-（x+1）x≥0（x=a+1∈（1，3））即可．

（1）f′（x）=
ex(x2−ax+1−2x+a)
(x2−ax+1)2=
ex(x−1)(x−(a+1))
(x2−ax+1)2
当a=0时，函数定义域为R，f′（x）=
ex(x−1)2
(x2+1)2≥0，∴f（x）在R上单调递增
当a∈（0，2）时，∵△=a²-4＜0∴x²-ax+1＞0恒成立，函数定义域为R，又a+1＞1，
∴f（x）在（-∞，1）上单调递增，（1，1+a）单调递减，（1+a，+∞）单调递增
当a=2时，函数定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），f′（x）=
ex(x−3)
x−1
∴f（x）在（-∞，1）上单调递增，（1，3）上单调递减，（3，+∞）上单调递增
当a∈（2，+∞）时，∵△=a²-4＞0，设x²-ax+1=0的两个根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
由韦达定理易知两根均为正根，且0＜x₁＜1＜x₂，所以函数的定义域为（-∞，x₁）∪（x₂，+∞）
又对称轴x=[a/2]＜a+1，且（a+1）²-a（a+1）+1=a+2＞0，x₂＜a+1
∴f（x）在（-∞，x₁），（x₁，1）单调递增，（1，x₂），（x₂，a+1）上单调递减，（1+a，+∞）单调递增
（2）由（1）可知当a＞2时，x∈[x₁，x₂]⊆[0，a+1]时，有f（x）＜0即f（x）≥x不成立，---------（8分）
当a=0时，f(0)＝1，f(1)＝
e
2＞1，f(x)单调递增，所以f（x）≥x在x∈[0，a+1]上成立----------------（9分）
当a∈（0，2）时，f(0)＝1，f(1)＝
e
2−a＞1，f(1+a)＝
ea+1
a+2，
下面证明：f(1+a)＝
ea+1
a+2≥a+1即证e^x-（x+1）x≥0（x=a+1∈（1，3））
令g（x）=e^x-（x+1）x，g′（x）=e^x-2x-1，g″（x）=e^x-2
∵x∈（1，3）∴g″（x）＞0，∴g′（x）单调递增，∵g′（1）＜0，g′（3）＞0
∴∃x₀使得=e^x-2x₀-1=0
∴g（x）在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，3）上单调递减，此时g（x）≥g（x₀）=-
x20+x₀+1
∵g′（
1+
5
2）=e
1+

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；指数函数综合题．

考点点评： 本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查了转化的思想和计算能力，属于难题．