已知函数f(x)=exx2−ax+a.

已知函数f(x)=
ex
x2−ax+a

(Ⅰ)当0<a<4时,试判断函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)当a=0时,对于任意的x∈(1,t],恒有tf(x)-xf(t)≥f(x)-f(t),求t的最大值.
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jj123123jj 幼苗

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解题思路:(Ⅰ)因为f′(x)=
ex(x2−ax+a)−ex(2x−a)
(x2−ax+a)2
[x2−(a+2)x+2a]ex
(x2−ax+a2)2
(x−2)(x−a)ex
(x2−ax+a)2
,令f'(x)=0,得x=a或2,由此能判断函数f(x)的单调性.
(Ⅱ)法一:依题意有(t-1)f(x)≥(x-1)f(t),由x∈(1,t],知
f(x)
x−1
f(t)
t−1
,设g(x)=
f(x)
x−1
ex
x2(x−1)
,而g(x)≥g(t)在(1,t]上恒成立,由此能求出t的最大值.
法二:由
f(x)
x−1
f(t)
t−1
,其几何意义是动点P(x,f(x)),与定点A(1,0)连线的斜率,当x=t时,取到最小值,由此能求出t的最大值.

(Ⅰ)因为f′(x)=
ex(x2−ax+a)−ex(2x−a)
(x2−ax+a)2=
[x2−(a+2)x+2a]ex
(x2−ax+a2)2=
(x−2)(x−a)ex
(x2−ax+a)2,
令f'(x)=0,
∴x=a或2,
∴当0<a<2时,f(x)在(-∞,a)单调增,在(a,2)上单调减,在(2,+∞)上单调增;
当a=2时,f(x)在(-∞,+∞)单调增;
当2<a<4时,f(x)在(-∞,2)单调增,
在(2,a)上单调减,在(a,+∞)上单调增;
(Ⅱ)(方法一)依题意有(t-1)f(x)≥(x-1)f(t),
∵x∈(1,t],∴
f(x)
x−1≥
f(t)
t−1,
设g(x)=
f(x)
x−1=
ex
x2(x−1),
而g(x)≥g(t)在(1,t]上恒成立,
因为g′(x)=
exx2(x−1)−ex(3x2−2x)
x4(x−1)2=
ex(x2−4x+2)
x3(x−1)2,
令g'(x)=0,∴x=2±
2
故g(x)在(1,2+
2)上单调减,在(2+
2,+∞)

点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性.

考点点评: 本题考查函数的单调性的判断与满足条件的实数t的最大值的求法,综合性强,难度较大,具有一定的探索性,对数学思维的要求较高,解题时要认真审题,仔细解答,注意导数性质的合理运用.

1年前

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