已知二次函数f（x）=﹣3x 2 +2bx+c的图象经过原点，其对称轴方程为x=2．

（1）二次函数f（x）=﹣3x ² +2bx+c的图象经过原点，则c=0，
又∵二次函数的图象对称轴是直线x=2， ，
∴二次函数解析式为：y=﹣3x ² +12x．
（2）g（x）=f（x）﹣6（m+2）x﹣9=﹣3x ² ﹣6mx﹣9，x∈[2，3]．
配方得，g（x）=﹣3（x+m） ² +3m ² ﹣9，
∵m∈[﹣3，+∞），∴﹣m∈（﹣∞，3]
①当﹣m＜2时，m＞﹣2时，h（m）=g（2）=﹣12m﹣21；
②当2≤﹣m≤3时，﹣3≤m≤﹣2时，h（m）=g（﹣m）=3m ² ﹣9．
综上，h（m）= ．