已知定义在R上的函数f（x）=ax 3 -2bx 2 +cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，

（Ⅰ）∵函数f（x）的图象关于原点对称，
∴f（0）=0，即4d=0，∴d=0
又f（-1）=-f（1），
即-a-2b-c=-a+2b-c，
∴b=0
∴f（x）=ax ³ +cx，f′（x）=3ax ² +c．
∵x=1时，f（x）取极小值 -
2
5 ，
∴3a+c=0且 a+c= -
2
5 ．
解得a=
1
5 ，c= -
3
5 ．
∴f（x）=
1
5 x 3 -
3
5 x …4
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．
假设图象上存在两点A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），使得过此两点处的切线互相垂直，
则由f′（x）=
3
5 （x ² -1）知两点处的切线斜率分别为k ₁ =
3
5 (
x 21 -1) ，k ₂ =
3
5 (
x 22 -1) ，且
9
25 (
x 21 -1)(
x 22 -1) =1 （*）
∵x ₁ ，x ₂ ∈[-1，1]，
∴
x 21 -1≤0，
x 22 -1≤0
∴（
x 21 -1）（
x 22 -1）≥0 此与（*）矛盾，故假设不成立…（8分）（文12分）
（Ⅲ）证明：f′（x）=
3
5 （x ² -1），令f′（x）=0，得x=±1
∴x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（-1，1）时，f′（x）＜0
∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且f _max （x）=f（-1）=
2
5 ，f _min （x）=f（1）= -
2
5 ．
∴在[-1，1]上|f（x）|≤
2
5 ，于是x ₁ ，x ₂ ∈[-1，1]时，
|f（x ₁ ）-f（x ₂ ）|≤|f（x ₁ ）|+|f（x ₂ ）|≤
2
5 +
2
5 =
4
5 …（12分）