（2011•宜宾一模）已知定义在R上的奇函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a，b，c，d∈R）且x=1时，f（

（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，∴d=0．又 f（1）=-f（-1），
∴b=0，∴f（x）=ax³ +cx，f′（x）=3ax²+c．
由f′（1）=0 及 f（1）=-[2/5] 得 3a+c=0，a+c=-[2/5]，a=[1/5]，c=-[3/5]．
∴f（x）=[1/5]x³-[3/5]=0．
（Ⅱ）令 f′（x）=0，解得 x=1，或 x=-1．∵f′（x）在-1的左侧大于0，右侧小于0，
f′（x）在1的左侧小于0，右侧大于0，故f（x）的增区间为（-∞，-1），（1，+∞），减区间为（-1，1）．
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，函数图象上不存在两点使结论成立．假设图象上存在两点A、B，时的过此两点的
切线互相垂直，则由f′（x）=[3/5(x2−1) 可知，k₁=
3
5(x12−1)，k₂=
3
5(x22−1)，
且
3
5(x12−1)•
3
5(x22−1)=-1．∵x∈[-1，1]，∴（x₁²-1）•（x₂²-1）≥0，与上式相矛盾，
故假设不成立．

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查函数在某点存在极值的条件，利用导数研究函数的单调性，导数的几何意义，用反证法证明（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，函数图象上不存在两点使结论成立，是解题的难点．

1年前

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