344210137 幼苗
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f′(x)=eax[ax2-(a2-2)x]
(1)因为f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
f′(1)=0,即a-a2+2=0
解得a=-1或2
(2)由f′(x)=eax[ax2-(a2-2)x]得
①a=2时,f′(x)=e2x(2x2-2x)
由f′(x)>0得
x>1或x<0
∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(1,+∞),单调递减区间是(0,1)
②a=-1时,令f′(x)>0得0<x<1
∴函数f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是 (-∞,0)和(1,+∞)
(Ⅲ)当a>0时,由(1)知a=2
∵g(x)=lnf(x)=ln(x2-2x+1)+2x
假设存在两点A、B,使得过此两点处的切线互相垂直,则由
g′(x)=[1
x2−2x+1•(2x−2)+2=
2x/x−1]
知斜率k1=g′(x1)=
2x1
x1−1 k2=g′(x2)=
2x2
x2−1
且k1•k2=-1
∵x∈(1,+∞)
∴x1-1>0,x2-1>0
∴
2x1
x1− 1•
2x2
x2−1>0,因此上式矛盾!故假设不成立.
∴函数上不存在两点A、B,使得过此两点处的切线互相垂直.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的运算;两条直线垂直的判定.
考点点评: 本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、两条直线平行的判定等基础知识,会利用导数研究函数的单调区间,考查推理能力.
1年前
你能帮帮他们吗