已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，点O为坐标原点，直线l：x＝a2c与x轴交于
已知双曲线
−
＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，点O为坐标原点，直线l：x＝
与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，又
＝2
，
•
＝2，过点F的直线m与双曲线右支交于点M，N，点P为点M关于x轴的对称点．
（1）求双曲线的方程；
（2）判断B，P，N三点是否共线，并说明理由；
（3）求三角形BMN面积的最小值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| a2 |
| c |
| OA |
| OB |
| OA |
| OC |
（1）求双曲线的方程；
（2）判断B，P，N三点是否共线，并说明理由；
（3）求三角形BMN面积的最小值．
赞 wester 春芽
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解题思路：（1）根据
＝2
，
•
＝2，可得
，由此可求双曲线中的几何量，从而可求双曲线的方程；
（2）设直线m的方程代入
−
＝1整理得一元二次方程，用坐标表示向量结合韦达定理，即可得到B，P，N三点共线；
（3）因为直线m与双曲线右支交于点M，N，可得t2＜
，表示出三角形的面积，再换元，利用配方法，结合函数的单调性，可求三角形BMN面积的最小值．
| OA |
| OB |
| OA |
| OC |
|
（2）设直线m的方程代入
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 12 |
（3）因为直线m与双曲线右支交于点M，N，可得t2＜
| 1 |
| 3 |
（1）∵OA＝2OB，OA•OC＝2，∴a＝2×a2ca×a2c＝2，∴a2=4，c=4∴b2=c2-a2=12∴双曲线的方程为x24−y212＝1；（2）由（1）可知B（1，0），F（4，0），由题意直线m的斜率不为0，所以设直线m的方程为x=ty+4，代入x24...
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查双曲线的标准方程，考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，同时考查韦达定理的运用，属于中档题．
1年前
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