如图，已知A1，A2分别为椭圆y24+x23＝1的下顶点和上顶点，F为椭圆的下焦点，P为椭圆上异于A1，A2点的任意一点

（1）∵椭圆
y2
4+
x2
3＝1的下焦点F（0，-1），
点P在椭圆上，且点P位于y轴右侧，
∴PF∥l时，P点坐标为P（x，-1），（x＞0），
把P（x，-1）（x＞0）代入椭圆
y2
4+
x2
3＝1，
得[1/4+
x2
3 ＝1，x＞0，
解得x=
3
2]，∴P（[3/2，−1）．
∵A₁为椭圆
y2
4+
x2
3＝1的下顶点，
∴A₁（0，-2）．
∴直线A₁M方程：
y+2
x＝
−1+2

3
2]，
即2x-3y-6=0．（3分）
（2）∵A₁，A₂分别为椭圆
y2
4+
x2
3＝1的下顶点和上顶点，
∴A₁（0，-2），A₂（0，2），
设A₁M：y=k₁x-2，由

y＝k1x−2
y＝m，得M（[m+2
k1，m），
∴
/FM]=（[m+2
k1，m+1）．
设A₂N：y=k₂x+2，由

y＝k2x+2
y＝m，得N（
m−2
k2，m），
∴
/FN]=（[m−2
k2，m+1）．
若以MN为直径的圆过点F，则
/FM•

FN＝0，
得
m2−4
K1K2+(1+m)2＝0．（5分）
∵KA1P•KA2P＝
y+2
x−0•
y−2
x−0＝
y2−4
x2＝−
4
3]．（7分）
∴
m2−4
−
4
3+(m+1)2＝0，
∴m=-4．（9分）
（3）∵m=-4，
∴M（-[2
k1，-4），N（−
6
k2，−4），
∴|MN|＝|
−2
K1−
−6
K2|＝|
2
K1−
6
K2|＝|
2
K1+
9K1/2|＝
2
|K1|+
9|K1|
2]
∴|MN|≥2

2
|k1|•
9|k1|
2=6，
当且仅当K2＝
4
9，K＝±
2
3时，
|MN|最小值为6．（12分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；基本不等式；直线的点斜式方程．

考点点评： 本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．

1年前

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