高二数学已知双曲线(x^2/4)-y^2=1,P是双曲线上一点.（1）求证：P点到双曲线两条渐进线的距离的乘积是一个定值

1、
a²=4,b²=1
a=2,b=1
b/a=1/2
所以渐近线y=-x/2,y=x/2
即x+2y=0,x-2y=0
假设P(p,q)
则距离的乘积=[|p+2q|/√(1²+2²)][|p-2q|/√(1²+2²)]
=|p²-4q²|/√5
P在双曲线上
所以p²/4-q²=1
所以p²-4q²=4
所以距离的乘积=|4|/√5=4/√5
所以距离的乘积是一个定值
2、
令p=2secm
则4sec²m/4-q²=1
q²=sec²m-1=tan²m
所以q=tanm
所以PA²=(p-3)²+(q-0)²
=4sec²m-12secm+9+tan²m
=4sec²m-12secm+9+(sec²m-1)
=5sec²m-12secm+8
=5(secm-6/5)²+4/5
secm>=1
所以secm=6/5,PA²最小=4/5
所以|PA|最小=2√5/5