问一道高中数学关于归纳法的题,麻烦好心的各位朋友们帮帮忙看下~

问一道高中数学关于归纳法的题,麻烦好心的各位朋友们帮帮忙看下~
第一个是：证明：在平面n个圆最多把平面分成n²-n+2个区域.
一个圆将平面分成2,而当n=1时,n²-n+2=2.因此结论当n=1时成立.
假设当n=k时,结论成立,即k个园最多把平面分成k²-k+2个区域.在次基础上增加一圆,为使区域最多,应使新增的园与前k个园都交于两点,于是新增2k个交点,这2k个交点将新园分成2k段弧,这2k段弧将所经过的区域一分为二,因此新增2k个区域.这样k+1个圆最多把平面分成(k²-k+2)+2k=(k+1)² - (k+1) +2 个区域,可见结论当n=k+1时成立.
请问各位这里的“这2k个交点将新园分成2k段弧,这2k段弧将所经过的区域一分为二”是什么意思(尤其是后半句),另外此题刻画的区域的概念是什么?比方说,平面内有两个圆,即n=2 .那也不是4-2+2=2个区域啊?
我太想知道这个答案啦,但问的问题太多,手里实在是没分了.非常感谢各位………………