设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =1，S n =na n -2n（n-1）（n=1，2，3，…）．

（Ⅰ）当n≥2时，a _n =S _n -S _n-1 =na _n -（n-1）a _n-1 -4（n-1），（2分）
得a _n -a _n-1 =4（n=2，3，4，）．（3分）
∴数列{a _n }是以a ₁ =1为首项，4为公差的等差数列．（4分）
∴a _n =4n-3．（5分） S n =
1
2 ( a 1 + a n )n=2 n 2 -n ．（6分）
（Ⅱ）
lim
n→∞ (
1
a 1 a 2 +
1
a 2 a 3 ++
1
a n-1 a n ) =
lim
n→∞ (
1
1×5 +
1
5×9 +
1
9×13 ++
1
(4n-7)(4n-3) )
=
lim
n→∞
1
4 ((
1
1 -
1
5 )+(
1
5 -
1
9 )+(
1
9 -
1
13 )++(
1
4n-7 -
1
4n-3 )) （8分）
=
lim
n→∞
1
4 (1-
1
4n-3 ) =
1
4 ．（10分）
（Ⅲ）由S _n =2n ² -n得：
S n
n =2n-1 ，（11分）
∴ S 1 +
S 2
2 +
S 3
3 ++
S n
n =1+3+5+7++(2n-1)= n 2 ．（13分）
令n ² =400，得n=20，所以，存在满足条件的自然数n=20．（14分）