向量点到平面距离已知四面体顶点A(2,3,1),B(4,1,-2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则顶点D到平

向量AB=(4,1,-2)-(2,3,1)=(2,-2,-3)；
向量AC=(6,3,7)-(2,3,1)=(4,0,6).
向量DA=(2,3,1)-(-5,-4,8)=(7,7,-7).
设平面ABC的一个法向向量n=(x,y,1).
∵向量n⊥平面ABC,∴向量n⊥向量AB,向量n⊥向量AC.
即 (x,y,1).(2,-2,-3)=0.
2x-2y-3=0 (1).
(x,y,1).(4,0,6)=0.
4x+6=0 (2)
由(2)得：x=-3/2,将x值代人(1),得：y=-3.
∴法向向量n的坐标为：向量n=(-3/2,-3,1).
|向量n|=√[(-3/2)^2+(-3)^2+1}=7/2.
|向量DA|＝√[7^2+7^2+(-7)^2]=7√3.
向量n.向量DA=(-3/2*7+(-3)*7+1*(-7)=-77/2
平面外一点D至平面ABC的距离d=|向量n.向量DA|/|向量n|.
d=|-77/2|/(7/2).
=(77/2)*(2/7).
∴d=11 (长度单位).---即为所求.