在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x 2 +2x-3与坐标轴的交点都在圆C上．

（I）曲线y=x ² -2x-3与y轴的交点为A（0，-3），与x轴的交点为B（1，0）、D（-3，0）．
∵线段BD的垂直平分线为x=-1，
∴设圆C的圆心为（-1，b），
由|AC|=|BC|，得（0+1） ² +（-3-b） ² =（1+1） ² +b ² ，解得b=-1．
由此可得圆心C（-1，-1），
圆C的半径r=
(1-0 ) 2 +(-1+3 ) 2 =
5 ，
因此，圆C的方程为（x+1） ² +（y+1） ² =5．
（II）∵直线x-y+a=0被圆C截得的弦长为 2
3 ，
∴设点C到直线x-y+a=0的距离为d，
根据垂径定理得2
r 2 - d 2 = 2
3 ，
即
5- d 2 =
3 ，解得d=
2 （舍负）．
∴点C（-1，-1）到直线x-y+a=0的距离为
|-1+1+a|

2 =
2 ，
解得a=±2．