（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2-y2=1．

（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x²-y²=1．
（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若|MF|＝2

，求点M的坐标；
（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
（3）设斜率为k（|k|＜

）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x²+y²=1相切，求证：OP⊥OQ．

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解题思路：（1）求出双曲线的左焦点F的坐标，设M（x，y），利用|MF|²=（x+

）²+y²，求出x的范围，推出M的坐标．
（2）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出平行四边形的面积．
（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b²=k²+1，通过求解

•

=0．证明PO⊥OQ．

（1）双曲线C₁：
x2

1
2−
y2
1＝1的左焦点F（-

6
2，0），
设M（x，y），则|MF|²=（x+

6
2）²+y²，
由M点是右支上的一点，可知x≥

2
2，
所以|MF|=
3x+

2
2=2
2，得x=

点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系；双曲线的简单性质．

考点点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用，设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．

1年前

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