（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C 1 ：2x 2 －y 2 ＝1.
| （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C 1 ：2x 2 －y 2 ＝1. (1)过C 1 的左顶点引C 1 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积； (2)设斜率为1的直线l交C 1 于P、Q两点．若l与圆x 2 ＋y 2 ＝1相切，求证：OP⊥OQ； |
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(1) S＝
|OA||y|＝
.(2)见解析。
(1)先把双曲线的方程化成标准方程可求出a值，从而得到左顶点A
,渐近线方程：y＝±
x,然后可设出过点A与渐近线y＝ x平行的直线方程为y＝
，即y＝ x＋1.它再与另一条渐近线方程联立解方程组可求出交点坐标，从而得到所求三角形的高，度显然等于|OA|，面积得解.
(2) 设直线PQ的方程是y＝x＋b，因直线PQ与已知圆相切，
故
＝1，即b 2 ＝2.
由
得x 2 －2bx－b 2 －1＝0（*）
设P(x 1 ，y 1 )、Q(x 2 ，y 2 )，然后证
·
＝x 1 x 2 ＋y 1 y 2 ＝x 1 x 2 ＋(x 1 ＋b)(x 2 ＋b)=2x 1 x 2 ＋b(x 1 ＋x 2 )＋b 2 ,借助（*）式方程中的韦达定理代入此式证明 · ＝0即可.
(1)双曲线C 1 ：
－y 2 ＝1，左顶点A ，渐近线方程：y＝± x.
过点A与渐近线y＝ x平行的直线方程为y＝ ，即y＝ x＋1.
解方程组
得
所以所求三角形的面积为S＝ |OA||y|＝ .
(2)设直线PQ的方程是y＝x＋b，因直线PQ与已知圆相切，
故 ＝1，即b 2 ＝2.
由 得x 2 －2bx－b 2 －1＝0.
设P(x 1 ，y 1 )、Q(x 2 ，y 2 )，则
又y 1 y 2 ＝(x 1 ＋b)(x 2 ＋b)，所以
· ＝x 1 x 2 ＋y 1 y 2 ＝2x 1 x 2 ＋b(x 1 ＋x 2 )＋b 2
＝2(－1－b 2 )＋2b 2 ＋b 2 ＝b 2 －2＝0.
故OP⊥OQ.
|OA||y|＝
.(2)见解析。 (1)先把双曲线的方程化成标准方程可求出a值，从而得到左顶点A
,渐近线方程：y＝±
x,然后可设出过点A与渐近线y＝ x平行的直线方程为y＝
，即y＝ x＋1.它再与另一条渐近线方程联立解方程组可求出交点坐标，从而得到所求三角形的高，度显然等于|OA|，面积得解.(2) 设直线PQ的方程是y＝x＋b，因直线PQ与已知圆相切，
故
＝1，即b 2 ＝2.由
得x 2 －2bx－b 2 －1＝0（*）设P(x 1 ，y 1 )、Q(x 2 ，y 2 )，然后证
·
＝x 1 x 2 ＋y 1 y 2 ＝x 1 x 2 ＋(x 1 ＋b)(x 2 ＋b)=2x 1 x 2 ＋b(x 1 ＋x 2 )＋b 2 ,借助（*）式方程中的韦达定理代入此式证明 · ＝0即可.(1)双曲线C 1 ：
－y 2 ＝1，左顶点A ，渐近线方程：y＝± x.过点A与渐近线y＝
x平行的直线方程为y＝ ，即y＝ x＋1.解方程组
得
所以所求三角形的面积为S＝
|OA||y|＝ .(2)设直线PQ的方程是y＝x＋b，因直线PQ与已知圆相切，
故
＝1，即b 2 ＝2.由
得x 2 －2bx－b 2 －1＝0.设P(x 1 ，y 1 )、Q(x 2 ，y 2 )，则
又y 1 y 2 ＝(x 1 ＋b)(x 2 ＋b)，所以
· ＝x 1 x 2 ＋y 1 y 2 ＝2x 1 x 2 ＋b(x 1 ＋x 2 )＋b 2 ＝2(－1－b 2 )＋2b 2 ＋b 2 ＝b 2 －2＝0.
故OP⊥OQ.
1年前
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