在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2-2x-3与两条坐标轴的三个交点都在圆C上．若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两

解题思路：（1）曲线y=x²-2x-3与y轴的交点为（0，3），与x轴的交点为（-1，0），（3，0），设圆C的圆心为（1，t），解得t=-1．由此能求出圆C的方程．
（2）由|AB|=2

3

，知圆心C到直线x-y+a=0的距离为

2

，由点到直线的距离公式能求出a的值．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x−y+a＝0 (x−1)2+(y+1)2＝5

，得2x²+2ax+a²+2a-3=0．由OA⊥OB，能求出a的值．

（1）曲线y=x²-2x-3与y轴的交点为（0，3），
与x轴的交点为（-1，0），（3，0），
设圆C的圆心为（1，t），
则有1²+（t+3）²=（1+1）²+t²，解得t=-1．
则圆C的半径为
22+12＝
5，
∴圆C的方程为（x-1）²+（y+1）²=5．
（2）∵|AB|=2
3，
∴圆心C到直线x-y+a=0的距离为
2，
∴
|1−(−1)+a|

12+(−1)2＝
2，解得a=0，或a=-4．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足方程组

点评：
本题考点： 直线与圆相交的性质；圆的标准方程．

考点点评： 本题考查圆的方程的求法，考查满足条件的a的值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点到直线的距离公式、韦达定理、根的判别式、向量等知识点的合理运用．