如图,梯形ABCD中,AD平行于CD,以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF,连接AD的垂直平分线

证明：过点A作AQ⊥BC于Q,过点D作DT⊥BC于T,过点E作EP⊥AD交DA的延长线于点P,过点F作FS⊥AD的延长线于S,过点M作MN⊥AD于N
∵AQ⊥BC,DH⊥BC,AD∥BC
∴矩形AQHD
∴AQ＝AH,∠AQB＝∠AHC＝90,∠PAQ＝90
∴∠BAQ+∠BAP＝90
∵正方形ABGE
∴AE＝AB,∠BAE＝90
∴∠EAP+∠BAP＝90
∴∠EAP＝∠BAQ
∵EP⊥AD
∴∠APE＝∠AQB
∴△ABQ≌△AEP （AAS）
∴AP＝AQ
同理可证DS＝DT
∴AP＝DS
∵EP⊥AD,FS⊥AD,MN⊥AD
∴EP∥MN∥FS
∵M是EF的中点
∴MN是梯形EFSP的中位线
∴PN＝SN
∵PN＝AP+AN,SN＝DS+DN
∴AP+AN＝DS+DN
∴AN＝DN
∴MN垂直平分AD
∴MA＝MD