求半径为R的球面的内接圆柱体体积的最大值.

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johoksky 幼苗

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设底面半径为R,高为2H
则R^2+H^2=r^2
V=πR^2H=2π（r^2-H^2）H=2π(r^2H-H^3)
V′=2π(r^2-3H^2)
令V′=0
则H=√(r^2/3)=√3r/3
代入V内求值即可.

1年前 追问

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PorscheClub 举报

为什么令V'=0 毕业好多年 忘记了

举报 johoksky

哦，求导等于0，得极值，这里显然极值就是最大值。

PorscheClub 举报

已知球半径为R，设底面半径为r, 圆柱高为2h,A为角，r=RsinA h=RcosA 则圆柱体积V=πr^2*2h=2πR^3*(sinA)^2*cosA 用这种方法的话 接下来怎么求？

举报 johoksky

用求三角函数极值的办法。 [(sinA)^2*cosA ]^2=4[(sinA)^2/2]*[(sinA)^2/2]*(cosA)^2<=4{{[(sinA)^2/2]+[(sinA)^2/2]+(cosA)^2}/3}^3=4/27 利用abc<=[(a+b+c)/3]^3 =>(sinA)^2*cosA <=2根号3/9

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这里通过极值求导的话 怎么求导 相关公式都忘记了

天使泪为你 幼苗

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设内接圆柱底面半径为r，高为h，那么有：r²+(h/2)²=R²，r²=R²-(h/2)²
V=πr²h=π[R²-(h/2)²]h，可求导容易求出其极值，如果你没学过导数，那么也可用基本不等式求出其极值：为方便计算用r表示V，显然有V²=4π²(R²-r²)r...

1年前

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